Blog และ ข่าวสาร

เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic geometry)

เรขาคณิตวิเคราะห์เป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่กล่าวถึงจุดบนระนาบ (point and plane)
ภาคตัดกรวย (Conic Section)
2.1 วงกลม (Circle)
2.2 พาราโบลา (Parabola)
2.3 วงรี (Ellipes)
2.4 ไฮเปอร์โบลา (Hyperbola)
รูปเรขาคณิตที่มีวิธีการสร้างในเชิงคณิตศาสตร์ ดังนี้
ให้ a และ b เป็นเส้นตรงใดๆ สองเส้นตัดกันที่จุด V เป็นมุมแหลม ให้เส้นตรง a และจุด V ตรึงอยู่กับที่ ผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นตรง b รอบเส้นตรง a (โดยมุม ระหว่างเส้นตรง a และ b มีขนาดคงตัว) เรียกว่า กรวยกลมตรง (right circular cone) ดังแสดงในรูปที่ 1 ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรวยกลมตรงเท่านั้นและจะเรียกสั้นๆ ว่า กรวย เส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่ เรียกว่า แกน (axis) ของกรวย จุด V เรียกว่า จุดยอด (vertex)
เส้นตรง b ที่ผ่านจุด V ทำมุม กับแกนของกรวย เรียกว่า ตัวก่อกำเนิด (generator) ของกรวย จุดยอด V แบ่งกรวยออกเป็นสองข้าง (nappes) ซึ่งอยู่คนละด้านของจุดยอด
ภาคตัดกรวย คือรูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย ภาคตัดกรวยที่จะศึกษากันเกิดจากระนาบที่ไม่ผ่านจุดยอดของกรวยดังแสดงในรูปที่ 2 เมื่อระนาบตั้งฉากกับแกนของกรวย ระนาบตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงกลม (circle)
เมื่อระนาบไม่ตั้งฉากกับแกนของกรวยแต่ทำมุมแหลมกับแกนของกรวยขนาดใหญ่กว่า ระนาบจะตัดกรวยข้างเดียวได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงรี (ellipse)
เมื่อระนาบขนานกับตัวก่อกำเนิดของกรวยระนาบจะตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่าพาราโบลา (parabola)
และเมื่อระนาบขนานกับแกนของกรวย ระนาบจะตัดกรวยสองข้างได้ภาคตัดกรวยสองข้างได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า ไฮเพอร์โบลา (hyperbola) ถ้าระนาบผ่านจุดยอดของกรวย รอยตัดของระนาบกับกรวยจะเป็นจุด หรือเส้นตรงหนึ่งเส้น หรือเส้นตรงสองเส้นตัดกัน ซึ่งเรียกลักษณะดังกล่าวว่า ภาคตัดกรวยลดรูป
เรขาคณิตวิเคราะห์จึงแบ่งได้ดังนี้
1. ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วยเส้นจำนวนสองเส้น เส้นหนึ่งอยู่ในแนวนอน เรียกว่า แกน X อีกเส้นหนึ่งอยู่ในแนวตั้งเรียกว่าแกน Y ทั้งสองเส้นนี้ตัดกันเป็นมุมฉาก และเรียกจุดตัดว่า จุดกำเนิด y ควอดรันต์ที่ II ควอดรันต์ที่ I (-,+) (+,+) x ควอดรันต์ที่ III ควอดรันต์ที่ IV (-,-) (+,-)
2. การหาระยะทางระหว่างจุด 2 จุด ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบ ระยะทางระหว่างจุด P และจุด Q หาได้โดย
PQ = (x2-x1)2 + (y2-y1) 2
3. จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบและให้ M(x,y) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง P และ Q เราสามารถหาจุด M ได้ดังนี้
จุดกึ่งกลาง M คือ x1+ x2 , y1+ y2 2 2
4. สมการของเส้นตรง Q(x2,y2) 4.1 ความชัน(slop) = tan θ =m
Q(x1,y1) ความชัน = m = y2 - y1 x2 - x1
4.2 สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (x1,y1) และมีความชันเท่ากับ m คือ
y - y1 = m(x - x1)
4.3 สมการเส้นตรงที่มี y -intercept เท่ากับ b และมีความชันเท่ากับ m คือ y = mx + b
4.4 จาก 4.2 และ 4.3 สามารถเขียนสมการเส้นตรงใหม่ในรูปของ Ax + By + C = 0
เอกสาร..เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic geometry)